Question

【題目】已知，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，直線與軸的正半軸交于點A，與軸的負半軸交于點B， ，過點A作軸的垂線與過點O的直線相交于點C，直線OC的解析式為，過點C作軸，垂足為．

（1）如圖1，求直線的解析式；

（2）如圖2，點N在線段上，連接ON，點P在線段ON上，過P點作軸，垂足為D，交OC于點E，若，求的值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點F為線段AB上一點，連接OF，過點F作OF的垂線交線段AC于點Q，連接BQ，過點F作軸的平行線交BQ于點G，連接PF交軸于點H，連接EH，若，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據題意求出A，B的坐標即可求出直線AB的解析式；

（2）求出N（3,9），以及ON的解析式為y=3x，設P（a，3a），表達出PE及OD即可解答；

（3）如圖，設直線GF交CA延長線于點R，交y軸于點S，過點F作FT⊥x軸于點T，先證明四邊形OSRA為矩形，再通過邊角關系證明△OFS≌△FQR，得到SF=QR，進而證明△BSG≌△QRG，得到SG=RG=6，設FR=m，根據，以及在Rt△GQR中利用勾股定理求出m的值，得到FS=8，AR=4，證明四邊形OSFT為矩形，得到OT=FS=8，根據∠DHE=∠DPH，利用正切函數的定義得到，從而得到DH=，根據∠PHD=∠FHT，得到HT=2，再根據OT=OD+DH+HT，列出關于a的方程即可求出a的值，從而得到點P的坐標．

解：（1）∵CM⊥y軸，OM=9，

∴當y=9時，，解得：x=12，

∴C（12,9），

∵CA⊥x軸，則A（12,0），

∴OB=OA=12，則B（0，-12），

設直線AB的解析式為y=kx+b，

∴，解得：，

∴；

（2）由題意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，

∴四邊形MOAC為矩形，

∴MC=OA=12，

∵NC=OM，

∴NC=9，則MN=MC-NC=3，

∴N（3,9）

設直線ON的解析式為，

將N（3，9）代入得：，解得：，

∴y=3x，

設P（a，3a）

∵PD⊥x軸交OC于點E，交x軸于點D，

∴，，

∴PE=，OD=a，

∴；

（3）如圖，設直線GF交CA延長線于點R，交y軸于點S，過點F作FT⊥x軸于點T，

∵GF∥x軸，

∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR，

∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，

則四邊形OSRA為矩形，

∴OS=AR，SR=OA=12，

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，

∴∠FAR=∠AFR，

∴FR=AR=OS，

∵QF⊥OF，

∴∠OFQ=90°，

∴∠OFS+∠QFR=90°，

∵∠SOF+∠OFS=90°，

∴∠SOF=∠QFR，

∴△OFS≌△FQR，

∴SF=QR，

∵∠SFB=∠AFR=45°，

∴∠SBF=∠SFB，

∴BS=SF=QR，

∵∠SGB=∠RGQ，

∴△BSG≌△QRG，

∴SG=RG=6，

設FR=m，則AR=m，

∴QR=SF=12-m，

∴AF=，

∵，

∴GQ=，

∵QG2=GR2+QR2，即，解得：m=4，

∴FS=8，AR=4，

∵∠OAB=∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，

∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，

∴四邊形OSFT為矩形，

∴OT=FS=8，

∵∠DHE=∠DPH，

∴tan∠DHE=tan∠DPH，

∴，

由（2）可知，DE=，PD=3a，

∴，解得：DH=，

∴tan∠PHD=，

∵∠PHD=∠FHT，

∴tan∠FHT=，

∴HT=2，

∵OT=OD+DH+HT，

∴，

∴a=，

∴