Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC=2，∠ABC=30°，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求：

（1）BC、AD的長；

（2）圖中兩陰影部分面積的和．

Answer 1

【答案】(1)2；（2）.

【解析】

（1）根據直徑得出∠ACB=∠ADB=90°，根據勾股定理求出BC，根據圓周角定理求出AD=BD，求出AD即可；
（2）根據三角形的面積公式，求出△AOC和△AOD的面積，再求出S扇形COD，即可求出答案．

解：（1）∵AB是直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2，

∴AB=4，

∴BC=，

∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，

∴∠DCA=∠BCD

∴，

∴AD=BD，

∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=2；

（2）連接OC，OD，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOC=∠2∠ABC=60°，

∵OA=OB，

∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=，

由（1）得∠AOD=90°，

∴∠COD=150°，

S△AOD=×AO×OD=×22=2，

∴S陰影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2．