Question

【題目】已知：平面直角坐標系中，A(a，3)、B(b，6)、C(c，1)，a、b、c都為實數，并且滿足3b－5c＝－2a－18，4b－c＝3a＋10

(1) 請直接用含a的代數式表示b和c

(2) 當實數a變化時，判斷△ABC的面積是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍

(3) 當實數a變化時，若線段AB與y軸相交，線段OB與線段AC交于點P，且S△PAB＞S△PBC，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）S△ABC＝13為定值；（3）

【解析】

（1）由4b－c＝3a＋10可知c=4b-3a-10，把c代入3b－5c＝－2a－18可用a 表示出b，同理可表示c；（2）如圖構造梯形，根據S△ABC=S梯形ADEC-S△ADB-S△CBE可證明S△ABC是定值，所以△ABC的面積無變化；（3）作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥x軸，根據S△PAB＞S△PBC可知AP＞PC，進而可得S△OAP＞S△OPC，所以S△OAB＞S△OBC，利用梯形和三角形的面積差可表示出△OAB和△OBC的面積，即可列出不等式，由AB與y軸相交可得－4≤a≤0，結合前面的不等式求出公共解集即可求出a的取值范圍.

（1）∵4b-c=3a+10，

∴c=4b-3a-10，

∵3b－5c＝－2a－18，

∴3b-5(4b-3a-10)=-2a-18，

∴b=a+4，

同理可得：c=a+6，

∴

(2) 構造如圖所示的梯形：

S△ABC＝ （3+5）6- 34- 25=13為定值，

(3) 線段AB與y軸相交，故，

∴－4≤a≤0，

∵S△PAB＞S△PBC，

∴AP＞PC，

∴S△OAP＞S△OPC，

∴S△OAB＞S△OBC，

作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥x軸，

S△OAB=（3+6） - 6- 6=6-a，

S△OBC= （1+6）（）+ 6- =a+16，

∴6-a>a+16，

解得：a<-,

∴