Question

【題目】觀察猜想：（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，點D與點A重合，點E在邊BC上，連接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉90°得到線段DF，連接BF，BE與BF的位置關系是　 　，BE+BF＝　 　；

探究證明：（2）在（1）中，如果將點D沿AB方向移動，使AD＝1，其余條件不變，如圖②，判斷BE與BF的位置關系，并求BE+BF的值，請寫出你的理由或計算過程；

拓展延伸：（3）如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，點D在邊BA的延長線上，BD＝n，連接DE，將線段DE繞著點D順時針旋轉，旋轉角∠EDF＝a，連接BF，則BE+BF的值是多少？請用含有n，a的式子直接寫出結論．

Answer 1

【答案】觀察猜想：（1）BF⊥BE，BC；探究證明：（2）BF⊥BE，BF+BE＝，見解析；拓展延伸：（3）BF+BE＝.

【解析】

（1）只要證明△BAF≌△CAE，即可解決問題；

（2）如圖②中，作DH∥AC交BC于H．利用（1）中結論即可解決問題；

（3）如圖③中，作DH∥AC交BC的延長線于H，作DM⊥BC于M．只要證明△BDF≌△HDE，可證BF+BE＝BH，即可解決問題.

（1）如圖①中，

∵∠EAF＝∠BAC＝90°，

∴∠BAF＝∠CAE，

∵AF＝AE，AB＝AC，

∴△BAF≌△CAE，

∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠C＝45°，

∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，

故答案為BF⊥BE，BC；

（2）如圖②中，作DH∥AC交BC于H，

∵DH∥AC，

∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，

由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，

∵AB＝AC＝3，AD＝1，

∴BD＝DH＝2，

∴BH＝2，

∴BF+BE＝BH＝2；

（3）如圖③中，作DH∥AC交BC的延長線于H，作DM⊥BC于M，

∵AC∥DH，

∴∠ACH＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB

∴∠DBH＝∠H，

∴DB＝DH，

∵∠EDF＝∠BDH＝α，

∴∠BDF＝∠HDE，

∵DF＝DE，DB＝DH，

∴△BDF≌△HDE，

∴BF＝EH，

∴BF+BE＝EH+BE＝BH，

∵DB＝DH，DM⊥BH，

∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，

∴BM＝MH＝BDsin．

∴BF+BE＝BH＝2nsin．