Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，G是AD延長線上的一點，且DG=AD，動點M從A點出發，以每秒1個單位的速度沿著A→C→G的路線向G點勻速運動（M不與A，G重合），設運動時間為t秒，連接BM并延長AG于N．

（1）是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若存在，分析點M的位置；若不存在，請說明理由；
（2）當點N在AD邊上時，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分線于H，求證：BN=HN；
（3）過點M分別作AB，AD的垂線，垂足分別為E，F，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：存在；當點M為AC的中點時，AM=BM，則△ABM為等腰三角形；

當點M與點C重合時，AB=BM，則△ABM為等腰三角形；

當點M在AC上，且AM=2時，AM=AB，則△ABM為等腰三角形；

當點M在AC上，且AM=BM時，AM= AC= ×2 = 時，則△ABM為等腰三角形；

當點M為CG的中點時，AM=BM，則△ABM為等腰三角形；

（2）

證明：在AB上截取AK=AN，連接KN；如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，AB=AD，

∴∠CDG=90°，

∵BK=AB﹣AK，ND=AD﹣AN，

∴BK=DN，

∵DH平分∠CDG，

∴∠CDH=45°，

∴∠NDH=90°+45°=135°，

∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°，

∴∠BKN=∠NDH，

在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°，

又∵BN⊥NH，

即∠BNH=90°，

∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°，

∴∠ABN=∠DNH，

在△BNK和△NHD中，

，

∴△BNK≌△NHD（ASA），

∴BN=NH；

（3）

解：①當M在AC上時，即0＜t≤2 時，△AMF為等腰直角三角形，

∵AM=t，

∴AF=FM= t，

∴S= AFFM= × t× t= t2；

當t=2 時，S的最大值= ×（2 ）2=2；

②當M在CG上時，即2 ＜t＜4 時，如圖2所示：

CM=t﹣AC=t﹣2 ，MG=4 ﹣t，

在△ACD和△GCD中，

，

∴△ACD≌△GCD（SAS），

∴∠ACD=∠GCD=45°，

∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°，

∴∠G=90°﹣∠GCD=45°，

∴△MFG為等腰直角三角形，

∴FG=MGcos45°=（4 ﹣t） =4﹣ t，

∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG= ×4×2﹣ ×CM×CM﹣ ×FG×FG

=4﹣ （t﹣2 ）2﹣ （4﹣ ）2=﹣ +4 t﹣8

=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴當t= 時，S的最大值為 ．

【解析】（1）四種情況：當點M為AC的中點時，AM=BM；當點M與點C重合時，AB=BM；當點M在AC上，且AM=2時，AM=AB；當點M在AC上，且AM=BM時，AM= 時；當點M為CG的中點時，AM=BM；△ABM為等腰三角形；（2）在AB上截取AK=AN，連接KN；由正方形的性質得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先證出∠BKN=∠NDH，再證出∠ABN=∠DNH，由ASA證明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；（3）①當M在AC上時，即0＜t≤2 時，△AMF為等腰直角三角形，得出AF=FM= t，求出S= AFFM= t2；當t=2 時，即可求出S的最大值；
②當M在CG上時，即2 ＜t＜4 時，先證明△ACD≌△GD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，證出△MFG為等腰直角三角形，得出FG=MGcos45°=4﹣ t，得出S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG ， S為t的二次函數，即可求出結果．