Question

【題目】如圖1，二次函數y＝ax2﹣3ax﹣4a的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C(0，﹣3)．

（1）求二次函數的表達式及點A、點B的坐標；

（2）若點D在二次函數圖象上，且，求點D的橫坐標；

（3）將直線BC向下平移，與二次函數圖象交于M，N兩點（M在N左側），如圖2，過M作ME∥y軸，與直線BC交于點E，過N作NF∥y軸，與直線BC交于點F，當MN+ME的值最大時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝，A(﹣1，0)，B(4，0)；（2）2+2或2﹣2或2；（3）M(，﹣)

【解析】

（1）求出a，即可求解；
（2）求出直線BC的解析式，過點D作DH∥y軸，與直線BC交于點H，根據三角形面積的關系求解；
（3）過點M作MG∥x軸，交FN的延長線于點G，設M（m，m-3），N（n，n2-n-3），判斷四邊形MNFE是平行四邊形，根據ME=NF，求出m+n=4，再確定ME+MN=-m2+3m+5-m=-（m-）2+ ，即可求M；

（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a與y軸交于點C（0，﹣3），

∴a＝，

∴y＝，

與x軸交點A（﹣1，0），B（4，0）；

（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，

∴ ，
∴ ，

∴y＝x﹣3；

過點D作DH∥y軸，與直線BC交于點H，

設H（x，x﹣3），D（x，x2﹣x﹣3），

∴DH＝|x2﹣3x|，

∵S△ABC＝，

∴S△DBC＝＝6，

∴S△DBC＝2×|x2﹣3x|＝6，

∴x＝2+2，x＝2﹣2，x＝2；

∴D點的橫坐標為2+2，2﹣2，2；

（3）過點M作MG∥x軸，交FN的延長線于點G，

設M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），

則E（m，m﹣3），F（n，n﹣3），

∴ME＝﹣m2+3m，NF＝﹣n2+3n，

∵EF∥MN，ME∥NF，

∴四邊形MNFE是平行四邊形，

∴ME＝NF，

∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，

∴m+n＝4，

∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，

∴∠NMG＝∠OBC，

∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝ ，

∵B（4，0），C（0，﹣3），

∴OB＝4，OC＝3，

在Rt△BOC中，BC＝5，

∴MN＝（n﹣m）＝（4﹣2m）＝5﹣m，

∴ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當m＝時，ME+MN有最大值，

∴M（，﹣）