Question

【題目】如圖①，直線與軸、軸分別交于兩點，將沿軸正方向平移后，點、點的對應點分別為點、點，且四邊形為菱形，連接，拋物線經過三點，點為上方拋物線上一動點，作，垂足為

求此拋物線的函數關系式；

求線段長度的最大值；

如圖②，延長交軸于點，連接，若為等腰三角形，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為．（3）點P的坐標為或

【解析】

（1）先求出A、B的坐標，然后根據菱形的性質和勾股定理求出BC，從而求出點C的坐標，然后將點A、B、C的坐標代入二次函數解析式中即可求出結論；

（2）作PH⊥x軸于H，交AC于點G，利用待定系數法求出直線AC的解析式，設，則，從而求出PG與x的函數關系式，然后根據銳角三角函數求出PE與x的函數關系式，然后利用二次函數求最值即可；

（3）根據點P在BC上方的拋物線上和在AB上方的拋物線上分類討論，分別畫出對應的圖形，設出點P的坐標，利用等腰三角形的性質、銳角三角函數列出一元二次方程，即可求出結論．

（1）∵當時，；當時，，

∴，

∵四邊形ABCD為菱形

∴，

∴

∴，

解得：

∴拋物線的解析式為：；

（2）作PH⊥x軸于H，交AC于點G，

設直線AC為：，

∴，

解得，

∴．

設，則，

∴=

∵，

∴∠BAO=60°，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠CAD=30°，

∴∠PGE=∠AGH=60°，

∴，

∴===，

∵，

∴當時，最大，最大值為．

（3）①當點P在BC上方的拋物線上時，作PH⊥x軸于H，

由（2）知∠CAD=30°，

∵PE⊥AC

∴∠PFO=90°－∠CAD=60°

∵△OPF為等腰三角形

∴△OPF為等邊三角形

∴∠POH=60°

∴PH=OH·tan∠POH=

設，則PH=，OH=x

∴

解得：（不符合前提條件，舍去）

∴此時點P的坐標為；

②當點P在AB上方的拋物線上時，作PH⊥x軸于H，

由（2）知∠CAD=30°，

∵PE⊥AC

∴∠PFA=90°－∠CAD=60°

∴∠PFO=120°

∴等腰三角形OPF中，FO=FP

∴∠FOP=∠FPO=∠PFA=30°

在Rt△OPH中， PH=OH·tan∠POH=

設（x＜0），則PH=，OH=-x

∴

解得：（不符合前提條件，舍去）

∴此時點P的坐標為；

綜上：點P的坐標為或．