Question

已知：如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6），且AB＝.

⑴求點B的坐標；

⑵求經過A、B、D三點的拋物線的解析式；

⑶在⑵中所求的拋物線上是否存在一點P，使得S_△PBC ＝ S_梯形ABCD?若存在，請求出該點坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：⑴在RtΔABC中，AB＝2，OA＝6

∴OB＝＝2    

又∵點B在x軸的負半軸上，∴B（－2，0）

⑵設所求拋物線的解析式為y＝ax²＋bx＋c，將A(0，6)，B(－2，0)，D(4，6)三點的坐標代入得  ，解得 ，所以             

⑶存在點P使得S_△PBC＝S_梯形ABCD.

理由：設存在點P使得S_△PBC＝S_梯形ABCD.

過D作DE⊥BC于E，則OE＝AD＝4，CE＝OB＝2

∴OC＝OE＋CE＝6，BC＝OC＋OB＝8     

∴S_△PBC＝S_梯形ABCD＝××(8＋4)×6＝18 

設P點的縱坐標為m，則×8×|m|＝18，∴m＝  

令y＝得，解得x₁＝2＋，x₂＝2－  

令y＝－得，解得x₃＝－3，x₂＝7  

綜上所述，存在點P使得S_△PBC＝S_梯形ABCD.

點P的坐標為(2＋，)或(2－，)或(－3，－)或(7，－)