Question

如圖，拋物線的頂點為D，與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，且OB = 2OC= 3．

   （1）求a，b的值；

   （2）將45°角的頂點P在線段OB上滑動(不與點B重合)，該角的一邊過點D，另一邊與BD交于點Q，設P（x，0），y₂=DQ，試求出y₂關于x的函數關系式；

（3）在同一平面直角坐標系中，兩條直線x = m，x = m+分別與拋物線y₁交于點E，G，與y₂的函數圖象交于點F，H．問點E、F、H、G圍成四邊形的面積能否為？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

【解析】通過B(3，0)，C(0，)兩點，求出拋物線的解析式，

（2）作DN⊥AB，由y₁求出AB=4，DN=BN=2，DB=2，由根據勾股定理得jPD²-(1-x)²=4，又因為△MPQ ∽ △MBP，所以kPD²=DQ´DB=y₂´2，由j、k得y₂與x的函數關系式

（3）假設E、F、H、G圍成四邊形的面積能為，通過y₁求出E、G、F、H的坐標，求出EF、GH的長度，

通過四邊形EFHG的面積求出m的值

 

Answer 1

【答案】

（1）由已知，OB=2OC=3

可得，拋物線y₁=ax²-2ax+b經過B(3，0)，C(0，)兩點，

∴，∴

∴拋物線的解析式為y₁= -x²+x+．           ---------4分

（2）作DN⊥AB，垂足為N．（如下圖1）

由y₁= -x²+x+易得D(1，2)， N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，

  ∴AB=4，DN=BN=2，DB=2，

   ÐDBN=45°．根據勾股定理有BD ²-BN ²=PD ²-PN ²．

   ∴(2)²-2²=PD²-(1-x)²-----j

又ÐMPQ=45°=ÐMBP，

   ∴△MPQ ∽ △MBP，∴PD²=DQ´DB=y₂´2------k．

   由j、k得y₂=x²-x+．∵0≤x＜3，

∴y₂與x的函數關系式為y₂=x²-x+=(0≤x≤3)．--------4分

（自變量取值范圍沒寫，不扣分）

 

 

（3）假設E、F、H、G圍成四邊形的面積能為  （如圖2）

∵點E、G是拋物線y₁= -x²+x+= 分別與直線x=m，x= m+的交點

∴點E、G坐標為 E(m，)，G(m+，)．

同理，點F、H坐標 為F(m，)，H(m+，)．

 ∴EF=-［］=

GH=)-［］=．

  ∵四邊形EFHG是平行四邊形或梯形，

∴S=［+］×=

化簡得

解得m=或（都在0≤x≤3內）

所以，當m=或時，E、F、H、G圍成四邊形的面積為.    --------4分