Question

【題目】如圖，已知A(-1,0),B(1,0),C為y軸正半軸上一點，點D為第三象限一動點，CD交AB于F,且∠ADB=2∠BAC，

(1)求證：∠ADB與∠ACB互補；

(2)求證：CD平分∠ADB；

(3)若在D點運動的過程中，始終有DC=DA+DB,在此過程中，∠BAC的度數是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)∠BAC=60°.

【解析】

(1)先判斷△ABC是等腰三角形，然后在△ABC中利用三角形內角和定理以及∠ADB=2∠BAC即可得到結論；

(2)過點C作AM⊥DA于點M，作CN⊥BD于點N，運用“AAS”證明△CAM≌△CBN得CM=CN，根據“到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”得證；

(3)延長DB至點P，使BP=AD，連接CP，則可得CD=DP，證明△CAD≌△CBP，從而可得 △CDP是等邊三角形，從而求∠BAC的度數．

(1)∵A(-1,0),B(1,0)，

∴OA=OB=1，

∵CO⊥AB，

∴CA=CB，

∴∠ABC=∠BAC，

∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∠ADB=2∠BAC，

∴∠ADB+∠ACB=180°，

即∠ADB與∠ACB互補；

(2)過點C作AM⊥DA于點M，作CN⊥BD于點N，則∠AMC=∠ANB=90°，

∵∠ADB+∠AMC+∠ANB+∠MCN=360°，

∴∠ADB+∠MCN=180°，

又∵∠ADB+∠ACB=180°，

∴∠MCN=∠ACB，

∴∠MCN-∠CAN=∠ACB-∠CAN，

即∠ACM=∠BCN，

又∵AB=AC，

∴△ACM≌△ABN (AAS)，

∴AM=AN．

∴CD平分∠ADB(到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上)；

(3)∠BAC的度數不變化，

延長DB至點P，使BP=AD，連接CP，

∵CD=AD+BD，

∴CD=DP，

∵∠ADB+∠DBC+∠ACB+∠CAD=360°，∠ADB+∠ACB=180°，

∴∠CAD+∠CBD=180°，

∵∠CBD+∠CBP=180°，

∴∠CAD=∠CBP，

又∵CA=CB，

∴△CAD≌△CBP，

∴CD=CP，

∴CD=DP=CP，即△CDP是等邊三角形，

∴∠CDP=60°，

∴∠ADB=2∠CDP=120°，

又∵∠ADB=2∠BAC，

∴∠BAC=60°.