Question

【題目】問題提出（1）如圖①，在△ABC中，BC＝6，D為BC上一點，AD＝4，則△ABC面積的最大值是　 　．

問題探究（2）如圖②，已知矩形ABCD的周長為12，求矩形ABCD面積的最大值．

問題解決（3）如圖③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意圖，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，現在他想利用周邊地的情況，把原來的三角形地拓展成符合條件的面積盡可能大、周長盡可能長的四邊形地，用來建魚塘．已知葛叔叔欲建的魚塘是四邊形ABCD，且滿足∠ADC＝60°．你認為葛叔叔的想法能否實現？若能，求出這個四邊形魚塘周長的最大值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）9；（3）能實現；170（米）．

【解析】

（1）當AD⊥BC時，△ABC的面積最大．

（2）由題意矩形鄰邊之和為6，設矩形的一邊為m，另一邊為6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，利用二次函數的性質解決問題即可．

（3）由題意，AC＝100，∠ADC＝60°，即點D在優弧ADC上運動，當點D運動到優弧ADC的中點時，四邊形魚塘面積和周長達到最大值，此時△ACD為等邊三角形，計算出△ADC的面積和AD的長即可得出這個四邊形魚塘面積和周長的最大值．

（1）如圖①中，

∵BC＝6，AD＝4，

∴當AD⊥BC時，△ABC的面積最大，最大值＝×6×4＝12．

故答案為12．

（2）∵矩形的周長為12，

∴鄰邊之和為6，設矩形的一邊為m，另一邊為6﹣m，

∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，

∵﹣1＜0，

∴m＝3時，S有最大值，最大值為9．

（3）如圖③中，

∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，

∴AC2＝AB2+BC2

∴∠ABC＝90°，

作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O為圓心，OA長為半徑畫⊙O，

∵∠ADC＝60°，

∴點D在優弧ADC上運動，

當點D是優弧ADC的中點時，四邊形ABCD面積取得最大值，

設D′是優弧ADC上任意一點，連接AD′，CD′，延長CD′到F，使得D′F＝D′A，連接AF，則∠AFC＝30°＝∠ADC，

∴點F在D為圓心DA為半徑的圓上，

∴DF＝DA，

∵DF+DC≥CF，

∴DA+DC≥D′A+D′C，

∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，

∴此時四邊形ADCB的周長最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．

答：這個四邊形魚塘周長的最大值為170（米）．