Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點.點和點關于軸對稱，點是線段上的一個動點.設點的坐標為，過點作軸的垂線交拋物線于點，交直線于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接，，當點運動到何處時，面積最大？最大面積是多少？并求出此時點的坐標；

（3）在第問的前提下，在軸上找一點，使值最小，求出的最小值并直接寫出此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當m=2時，即P運動到（2，0）時，△DQB面積最大，，△DQB的最大面積為24，此時Q（2，6）；（3）此時點E的坐標為（5，0）．

【解析】

（1）把點代入解析式聯立方程組即可得到結果；

（2）先求出BD所在直線的解析式，設Q（m，），M（m，）可得，MQ，根據S△DBQ= S△DMQ +S△BMQ

可得出結果；

（3）過點E作EF⊥BD，垂足為F，根據當點Q、E、F在一條直線上時，有最小值即可得到結果；

（1）∵拋物線與x軸交于點A（-1，0），B（6，0），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式，

（2）令x=0，則y=3. ∴C（0，3）.

∵點C與點D關于x軸對稱，

∴D（0，﹣3）

設直線BD的解析式為y=kx﹣3（k≠0）．

將（6，0）代入得：6k﹣3=0，

∴k=.

∴直線BD的解析式為．

∵直線l⊥x軸于點P，交拋物線于Q，交直線BD于點M，

且P（m，0），

∴Q（m，），M（m，），

∴MQ =，

，.

∴S△DBQ= S△DMQ +S△BMQ

∴當m=2時，即P運動到（2，0）時，△DQB面積最大，

此時Q（2，6），△DQB的最大值為24.

（3）在Rt△OBD中，OB=6，OD=3，則BD=，

∴sin∠OBD=．

過點E作EF⊥BD，垂足為F．

Rt△BFE中，

sin∠OBD= sin∠EBF=．

∴EF=BE．

∴．

∴當點Q、E、F在一條直線上時，有最小值．

∵S△DBQ ，

∴

解得

即的最小值為

此時點E的坐標為（5，0）．