Question

拋物線y=a（x+2）²+c與x軸交于A、B兩點，與y軸負半軸交于點C，已知點A（-1，0），OB=OC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線上一個動點，且S_△BCM=S_△ABC，求點M的坐標；
（3）Q為直線y=-x-4上一點，在此拋物線的對稱軸是否存在一點P，使得∠APB=2∠AQB，且這樣的Q點有且只有一個？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數的解析式可以得到函數的對稱軸是x=-2，則B點的坐標可以求得，求得OB的長，則C的坐標可以求得，把A、C的坐標代入函數解析式即可求得；
（2）首先利用待定系數法求得直線BC的解析式，然后根據S_△BCM=S_△ABC，即可求得BC邊上的高，則M所在的直線的解析式可以求得，然后解M所在直線的解析式與二次函數的解析式組成的方程組即可求得M的坐標；
（3）設P（-2，m），以P為圓心的圓與直線y=-x-4相切，根據切線的性質即可求解．

解答：解：（1）由拋物線y=a（x+2）²+c可知，其對稱軸為x=-2，
∵點A坐標為（-1，0），
∴點B坐標為（-3，0），
∵OB=OC，
∴C點坐標為（0，-3）．
將A（-1，0）、C（0，-3）分別代入解析式得，

a+c=0 4a+c=-3

，
解得，

a=-1 c=1

，
則函數解析式為y=-x²-4x-3．

（2）BC：y=-x-3，
∴AM：y=-x-1，

y=-x-1 y=-x2-4x-3

∴M（-2，1），
同理

y=-x-5 y=-x2-4x-3

，
∴M（

-3+ 17

2

，-

7+ 17

2

）或（-

3+ 17

2

，

17 -7

2

），

（3）設P（-2，m），以P為圓心的圓與直線y=-x-4相切，得

(m+2)2

2

=1+m2，m=2±

6

，
故P（-2，2+

6

）或（-2，2-

6

）．

點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式，以及直線與圓相切的判定，正確理解切線的判定方法是關鍵．