Question

【題目】如圖，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P點在BC上，從B點到C點運動(不包括C點)，點P運動的速度為2cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點(不包括A點)，速度為5cm/s．若點P、Q分別從B、C同時運動，請解答下面的問題，并寫出探索主要過程：

（1）經過多少時間后，P、Q兩點的距離為5cm？

（2）經過多少時間后，的面積為15cm2？

（3）設運動時間為t，用含t的代數式表示△PCQ的面積，并用配方法說明t為何值時△PCQ的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）經過1秒后，P、Q兩點的距離為5cm；（2）經過或2秒后，的面積為15cm2；（3）=；當時，最大，最大面積為

【解析】

（1）連接PQ，根據勾股定理的逆定理可得△ABC為直角三角形，∠C=90°，然后設x秒后，P、Q兩點的距離為5cm，根據勾股定理列出方程即可求出結論；

（2）設y秒后，的面積為15cm2，根據三角形的面積公式列出方程即可求出結論；

（3）利用三角形的面積公式即可用含t的代數式表示△PCQ的面積，然后配方，根據平方的非負性即可求出的取值范圍，從而求出其最值．

解：（1）連接PQ，

∵在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，

∴BC2＋AC2=625=AB2

∴△ABC為直角三角形，∠C=90°

設x秒后，P、Q兩點的距離為5cm

根據題意可得BP=2x,CQ=5x

∴CP=BC－BP=7－2x

根據勾股定理可得CP2＋CQ2=PQ2

即（7－2x）2＋（5x）2=（5）2

解得：（不符合實際，舍去）

答：經過1秒后，P、Q兩點的距離為5cm．

（2）設y秒后，的面積為15cm2

根據題意可得BP=2y,CQ=5y

∴CP=BC－BP=7－2y

∴

解得：

答：經過或2秒后，的面積為15cm2．

（3）根據題意可得BP=2t,CQ=5t

∴CP=BC－BP=7－2t

∴=

=

=

=

=

=

∵

∴

∴（當且僅當取等號），即

∴當時，最大，最大面積為．