Question

【題目】如圖甲，點C將線段AB分成兩部分（AC＞BC），如果 = ，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某數學興趣小組在進行課題研究時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積分別為S1 ， S2（S1＞S2）的兩部分，如果 = ，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

（1）如圖乙，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分線交AB于點D，請問點D是否是AB邊上的黃金分割點，并證明你的結論；
（2）若△ABC在（1）的條件下，如圖丙，請問直線CD是不是△ABC的黃金分割線，并證明你的結論；
（3）如圖丁，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為斜邊AB上的一點，（不與A，B重合）過D作DE⊥BC于點E，連接AE，CD相交于點F，連接BF并延長，與DE，AC分別交于點G，H．請問直線BH是直角三角形ABC的黃金分割線嗎？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：點D是AB邊上的黃金分割點．理由如下：

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°，

∵CD是角平分線，

∴∠ACD=∠BCD=36°，

∴∠A=∠ACD，

∴AD=CD，

∵∠CDB=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，

∴∠CDB=∠B，

∴BC=CD，

∴BC=AD．

在△BCD與△BCA中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=36°，

∴△BCD∽△BAC，

∴ ，

∴ ，

∴點D是AB邊上的黃金分割點．

（2）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：

證明：設△ABC中，AB邊上的高為h，則S△ABC= ABh，S△ACD= ADh，S△BCD= BDh，

∴S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD，

由（1）知，點D是AB邊上的黃金分割點，

∴ ，

∴S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，

∴CD是△ABC的黃金分割線．

（3）解：直線BH不是△ABC的黃金分割線．理由如下：

∵DE∥AC，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴AH2=HC2，

∴AH=HC，

∴S△BHA=S△BHC= S△ABC，

∴BH不是△ABC的黃金分割線．

【解析】（1）根據等邊對等角得出∠B=∠ACB=72°，根據角平分線的定義及等量代換得出∠A=∠ACD，進而根據等角對等邊得出AD=CD，BC=CD，從而得出BC=AD．然后判斷出△BCD∽△BAC，根據相似三角形對應邊成比例得出=,從而得出=，從而得出結論點D是AB邊上的黃金分割點；
（2）設△ABC中，AB邊上的高為h，根據三角形的面積公式，則S△ABC= ABh，S△ACD= ADh，S△BCD= BDh，故S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD，由（1）知，點D是AB邊上的黃金分割點，故=，根據等量代換得S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，從而得出結論；
（3）直線BH不是△ABC的黃金分割線．理由如下：根據平行線分線段成比例定理得出AH2=HC2，故AH=HC，從而S△BHA=S△BHC= S△ABC，得出結論BH不是△ABC的黃金分割線．
【考點精析】通過靈活運用三角形的面積和平行線分線段成比例，掌握三角形的面積=1/2×底×高；三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例即可以解答此題．