Question

【題目】如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點E，＝，點D在上，連接CO，并延長CO交線段AB于點F，連接OA、OB，且OA＝，tan∠OBA＝．

（1）求證：∠OBA＝∠OCD；

（2）當△AOF是直角三角形時，求EF的長；

（3）是否存在點F，使得S△CEF＝4S△BOF，若存在，請求EF的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF＝或；（3）存在

【解析】

（1）先判斷出∠ECB＝∠EBC，再判斷出∠OCB＝∠OBC，即可得出結論；

（2）先求出EF，再分兩種情況，利用銳角三角函數和相似三角形的性質即可得出結論；

（3）先利用面積關系得出，進而利用△OAF∽△EFC得出比例式，即可得出結論．

解：（1）如圖1，連接BC，

∵ ，

∴∠ECB＝∠EBC，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠OCD＝∠ECF＝∠ECB﹣∠OCB＝∠EBC﹣∠OBC＝∠OBA；

（2）∵OA＝OB，

∴∠OAF＝∠OBA，

∴∠OAF＝∠ECF，

①當∠AFO＝90°時，

∵OA＝，tan∠OBA＝ ，

∴OC＝OA＝，OF＝1，AB＝4，

∴EF＝CFtan∠ECF＝CFtan∠OBA＝

②當∠AOF＝90°時，

∵OA＝OB，

∴∠OAF＝∠OBA，

∴tan∠OAF＝tan∠OBA＝，

∵OA＝，

∴OF＝OAtan∠OAF＝，

∴AF＝，

∵∠OAF＝∠OBA＝∠ECF，∠OFA＝∠EFC，

∴△OFA∽△EFC，

∴，

∴EF＝OF＝,

即：EF＝或；

（3）存在，如圖2，連接OE，

∵∠ECB＝∠EBC，

∴CE＝EB，

∵OE＝OE，OB＝OC，

∴△OEC≌△OEB，

∴S△OEC＝S△OEB，

∵S△CEF＝4S△BOF，

∴S△CEO+S△EOF＝4（S△BOE﹣S△EOF），

∴，

∴，

∴FO＝CO＝，

∵△OFA∽△EFC，

∴，

∴BF＝BE﹣EF＝CE﹣EF＝EF，

∴AF＝AB﹣BF＝4﹣EF，

∵△OAF∽△EFC，

∴，

∴，

∴EF＝3﹣．