Question

【題目】如圖，頂點為P（4，－4）的二次函數圖象經過原點（0，0），點A在該圖象上，OA交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接AN、ON．

（1）求該二次函數的關系式；

（2）若點A的坐標是（6，－3），求△ANO的面積；

（3）當點A在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動時，請解答下面問題：

①證明：∠ANM＝∠ONM；

②△ANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點A的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）12

（3）相似三角形的基本知識推出該角度的相等，不能

【解析】試題分析：（1）∵二次函數圖象的頂點為P（4，－4），∴設二次函數的關系式為。

又∵二次函數圖象經過原點（0，0），∴，解得。

∴二次函數的關系式為，即。（2分）

（2）設直線OA的解析式為，將A（6，－3）代入得，解得。

∴直線OA的解析式為。

把x=4代入得y=-2。∴M（4，－2）。

又∵點M、N關于點P對稱，∴N（4，－6），MN=4。

∴。（3分）

（3）①證明：過點A作AH⊥于點H，， 與x軸交于點D。則

設A（）,

則直線OA的解析式為。

則M（），N（），H（）。

∴OD=4，ND=，HA=，NH=。

∴。

∴ 。∴∠ANM=∠ONM。（2分）

②不能。理由如下：分三種情況討論：

情況1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，

∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。

整理，得，解得。

∴此時，點A與點P重合。故此時不存在點A，使∠ONA是直角。

情況2，若∠AON是直角，則。

∵，

∴。

整理，得，解得， 。

∴此時，故點A與原點或與點P重合。故此時不存在點A，使∠AON是直角。

情況3，若∠NAO是直角，則△AMN∽△DMO∽△DON，∴。

∵OD=4，MD=，ND=，∴。

整理，得，解得。

∴此時，點A與點P重合。故此時不存在點A，使∠ONA是直角。

綜上所述，當點A在對稱軸右側的二次函數圖象上運動時，△ANO不能成為直角三角形。（3分）