Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，過點D作DE∥BC交AB于點E，DF∥AB交BC于點F．

（1）求證：四邊形BEDF為菱形；

（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)24.

【解析】

（1）根據平行四邊形的和菱形的判定證明即可；

（2）根據含30°的直角三角形的性質和勾股定理以及菱形的面積解答即可．

證明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠EBD=∠DBF，

∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠DBF，

∴∠EBD=∠EDB，

∴BE=ED，

∴平行四邊形BFDE是菱形；

（2）連接EF，交BD于O，

∵∠BAC=90°，∠C=30°，

∴∠ABC=60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=30°，

∴BD=DC=12，

∵DF∥AB，

∴∠FDC=∠A=90°，

∴DF=，

在Rt△DOF中，OF=，

∴菱形BFDE的面積=×EFBD＝×12×4=24．