Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為AB上面半圓上一點，點D為AB的下面半圓的中點，連接CD與AB交于點E，延長BA至F，使EF=CF．
（1）求證：CF與⊙O相切；
（2）若DEDC=13，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC、OD．

∵ = ，

∴OD⊥AB，∠AOD=90°，

∵FE=FC，

∴∠FCE=∠FEC，

∵OC=OD，

∴∠OCE=∠ODC，

∴∠FCO=∠FCE+∠OCE=∠FEC+∠EDO=∠OED+∠ODC=90°．

∴OC⊥CF，

∴CF是⊙⊙O的切線

（2）解：連接BC、BD．

∵ = ，

∠EBD=∠BCD，

∵∠BDE=∠CDB，

∴△BDE∽△CDB，

∴ = ，

∴BD2=CDED=13，

∵∠BOD=90°，

∴OB2+OD2=BD2=13，

∴OB2= ，

∴OB= ，

∴⊙O的半徑為

【解析】（1）欲證明CF與⊙O相切，只要證明OC⊥CF即可．（2）由△BDE∽△CDB，推出 = ，推出BD2=CDED=12，由∠BOD=90°，推出OB2+OD2=BD2=12，推出OB2=6，可得OB= 解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．