Question

【題目】如圖，菱形ABCD對角線交于點E，△ABD的外接圓⊙O交AC于點F．若FB=FC．

（1）證明：=FEFA；

（2）證明：BC是⊙O的切線；

（3）若EF=2，求出四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）首先根據菱形的性質和圓周角定理的推論得出△BEF∽△ABF，則有，即，又因為FB=FC，則結論可證；

（2）首先根據等腰三角形的性質和等量代換得出∠ABO=∠FBC，又因為∠ABO+∠FBO=∠ABF=90°，則有∠CBF+∠FBO =90°，進而可證明結論；

（3）首先根據三角形外角的性質和三角形內角和定理得出∠BAF=30°，∠BFA =60°，然后解直角三角形可求出AE,BE的長度，進而可求AC,BD的長度，最后利用菱形的面積公式即可求解．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC垂直平分BD，

∵AF為⊙O的直徑．

∴∠ABF=90°．

，

∴△BEF∽△ABF．

∴．

∴．

∵FB=FC，

∴=FEFA；

（2）證明：連接OB，

∵OB=OA，FB=FC，BA=BC，

∴∠OBA=∠BAC，∠FBC=∠FCB，∠BAC=∠BCA．

∴∠ABO=∠FBC．

∵∠ABO+∠FBO=∠ABF=90°．

∴∠CBF+∠FBO =90°．

∴OB⊥BC．

∴BC是⊙O的切線；

（3）解：由（2）得∠BAC=∠BCA=∠FBC．

∴∠BFA=∠FBC+∠FCB=2∠FCB=2∠BAC．

∵∠BAF+∠BFA=180°-∠ABF=90°．

∴3∠BAF=90°．

∴∠BAF=30°．

∴∠BFA=2∠BAF=60°．

在Rt△BFE中，BE=EFtan∠BFE=2=．

在Rt△BAE中，AE=．

∴AC=2AE=12，BD=2BE=．

∴四邊形ABCD的面積S=．