Question

【題目】如圖，在中，于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，以為邊作使點(diǎn)在點(diǎn)的下方，且，設(shè)與重疊部分圖形的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）的長為 ；

（2）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值；

（3）當(dāng)與重疊部分圖形為四邊形時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）若射線與邊交于點(diǎn)連結(jié)，當(dāng)的垂直平分線經(jīng)過的頂點(diǎn)時(shí)，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）當(dāng)0＜t≤時(shí)，；≤t＜2時(shí)，；（4）或或．

【解析】

（1）由勾股定理計(jì)算出BD即可得到CD的長度；

（2）當(dāng)點(diǎn)F落在BC上時(shí)，四邊形BFEP為平行四邊形，利用銳角三角函數(shù)的定義表達(dá)出BF，根據(jù)PE=BF列出方程解答即可；

（3）分別求出當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)的時(shí)間t，再分類討論，當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分為四邊形PNDM；≤t＜2時(shí)，△PEF與△ABD重疊的部分為四邊形PFHG，分別根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義以及相似三角形的相似比，表達(dá)出面積即可；

（4）分三種情況討論，①當(dāng)PQ的中垂線過點(diǎn)B時(shí)，證明平行四邊形PBQE是菱形，再根據(jù)PE=BP列出等式求解即可；②當(dāng)PQ的中垂線過點(diǎn)A時(shí)，在Rt△AQD中，根據(jù)AD2+QD2=AQ2即可解答；③當(dāng)PQ的中垂線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，根據(jù)CQ=PC列出等式即可解答．

（1）由題意可知，BD=，

∴CD=BC-BD=10-8=2，

故答案為：2；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在BC上時(shí)，由題意可知，BP=5t，則AP=10-5t，

∵PE∥BC，EF∥AB，

則四邊形BFEP為平行四邊形，且∠AEP=∠ACB，

又∵∠ACB=∠BAC，

∴∠AEP=∠BAC，

∴PE=AP=10-5t，

又∵cosB=，

∴，則BF=4t，

∵四邊形BFEP為平行四邊形，

∴PE=BF，即，解得：，

（3）①如下圖所示，當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，

∵PE∥BC，EF∥AB，

∴四邊形PBDE是平行四邊形，且∠DEC=∠BAC，

∴DE=BP=5t，∠DEC=∠C，

∴DE=DC，即5t=2，解得t=，

∴當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分為四邊形PNDM，

∵∠EPF=90°，PE∥BC，

∴∠PND=90°，

又∵∠ADB=90°，

∴四邊形PNDM為矩形，

在RT△BPN中，sinB=，即，解得PN=3t，

cosB=，即，解得BN=4t，

∴DN=8-4t，

∴S=PN·DN=，

②當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，如圖，

由①可知BF=4t，PF=3t，則CF=10-4t，

由EF=CF可得：5t=10-4t，解得：，

∴≤t＜2時(shí)，△PEF與△ABD重疊的部分為四邊形PFHG，

∵PE∥BC，

∴△APG∽△ABD，

∴，即，解得：PG=，

∵PE=AP=10-5t，

∴GE=10-5t-=，

∵EF∥AB，

∴∠EHG=∠BAD，

∴tan∠EHG=tan∠BAD，即，

∴，解得：GH=，

又∵∠PFE=∠EHG，則∠PFE=∠BAD

∴tan∠PFE=tan=∠BAD，即，解得：PF=，

∴，

綜上所述：當(dāng)0＜t≤時(shí)，；≤t＜2時(shí)，；

（4）①當(dāng)PQ的中垂線過點(diǎn)B時(shí)，如圖，即BE是PQ的中垂線，

∵四邊形PBQE是平行四邊形，BE垂直PQ，

∴平行四邊形PBQE是菱形，

∴PE=BP，即5t=10-5t，解得：t=1，

②當(dāng)PQ的中垂線過點(diǎn)A時(shí)，如圖，連接AE，則AP=AQ=10-5t，

∵CQ=EQ=5t，

∴QD=CQ-CD=5t-2，

∴在Rt△AQD中，AD2+QD2=AQ2，即，解得：，

③當(dāng)PQ的中垂線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，如圖，連接PC，延長PF交BC于點(diǎn)K，

則CQ=PC，

∵∠EPF=90°，PE∥BC，

∴∠PKC=90°，

∵BK=4t，PK=3t，則CK=10-4t，

∴PC=，

又∵CQ=QE=BP=5t，

∴5t=，解得：，

綜上所述：或或．