Question

【題目】已知：點D是△ABC所在平面內一點，連接AD、CD．

（1）如圖1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；

（2）如圖2，若存在一點P，使得PB平分∠ABC，同時PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的關系并證明；

（3）如圖3，在 （2）的條件下，將點D移至∠ABC的外部，其它條件不變，探究∠A，∠P，∠C的關系并證明．

Answer 1

【答案】(1) 111 ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由見解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由見解析.

【解析】

（1）延長AD交BC于E，利用三角形外角的性質即可求解；

（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相鄰的兩個內角的和以及（1）結論即可求解；

（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）結論以及角平分線的性質即可得到.

（1）如圖1,延長AD交BC于E，

在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28+72=100，

在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100+11=111 ；

（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：

如圖2，

∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3

∴∠A+∠1=∠P+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴ ∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠A+∠2=∠P+∠4

由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C

∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C

∴∠A－∠C=2∠P

（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:

如圖3,

同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2

∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴ ∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠1+∠4=∠2+∠3

∴∠A+∠C=2∠P