Question

【題目】已知：如圖，平行四邊形 ABCD的兩條對角線相交于點O， E是BO的中點．過B點作AC的平行線，交CE的延長線于點F，連接BF．

（1）求證：FB=AO；

（2）當平行四邊形 ABCD滿足什么條件時，四邊形AFBO是菱形？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當平行四邊形ABCD是矩形時，四邊形AFBO是菱形．理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）如圖，取BC的中點G．由三角形中位線定理易證EG=BF=OC；則由“有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”證得四邊形AOBF為平行四邊形．所以平行四邊形的對邊相等：FB=AO；

（2）若四邊形AFBO是菱形，則OB=OA．故當平行四邊形ABCD的對角線相等，即平行四邊形ABCD是矩形時，四邊形AFBO是菱形．

試題解析：（1）如圖，取BC的中點G，連接EG．

∵E是BO的中點，

∴EG是△BFC的中位線，

∴EG=BF．

同理，EG=OC，

∴BF=OC．

又∵點O是ABCD的對角線交點，

∴AO=CO，

∴BF=AO．

又∵BF∥AC，即BF∥AO，

∴四邊形AOBF為平行四邊形，

∴FB=AO；

（2）當平行四邊形ABCD是矩形時，四邊形AFBO是菱形．理由如下：

∵平行四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OB，

∴平行四邊形AFBO是菱形．