Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，E為AC的中點，連接DE并延長交BA的延長線于點F．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若∠F=30°，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：(1) 連接OD、AD，利用直徑所對圓周角是直角，可求得△ADC是直角三角形，利用半徑構成的等腰三角形找等角，可得∠ODE=90°.(2)求出直角三角形和扇形的面積求和.

試題解析：

解：（1）如圖，連接OD、AD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴△ADC是直角三角形，

∵E為AC的中點，

∴AE=EC=DE，

∴∠ADE=∠DAE，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠BAC=90°，

∴∠OAD+∠DAE=90°，

∴∠ODA+∠ADE=90°，

即∠ODE=90°，OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）∵∠F=30° OD⊥DE，

∴∠AOD=60°

又∵r=2.

∴圖中陰影部分面積=AD=.