Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+2（a≠0）的圖象與x 軸交于A，B 兩點，與y 軸交于點C，已知點 A(-4,0)，B(1,0)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點 D(m,n) 是拋物線在第二象限的部分上的一動點，四邊形 的面積為 ，求 關于 m 的函數關系；

（3）若點 E 為拋物線對稱軸上任意一點，當以 A，C，E 為頂點的三角形是直角三角形時，請求出滿足條件的所有點 E 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】試題解析：（1）用待定系數法求出函數解析式即可；（2）用m表示出點D的坐標，過點D作DH⊥x軸于點H，利用四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+ 四邊形OCDH的面積即可求得S關于 m 的函數關系；（3）求出函數的對稱軸，設出點E的坐標，分∠AEC=90°、

∠ACE=90°和∠CAE=90°三種情況求點E的坐標即可.

試題分析：

（1）∵A(-4,0)，B(1,0) 在二次函數y=ax2+bx+2（a≠0）的圖象上，

∴ ， 解得 .

∴拋物線的解析式為．

（2）∵ 點D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點，

∴D（m， ），

過點D作DH⊥x軸于點H，

則DH= ，AH=m+4，HO=-m，

∵ 四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+ 四邊形OCDH的面積，

∴，

化簡，得．

（3） 拋物線的對稱軸為，

故設點E的坐標為（）．

∴．

若∠AEC=90°，則，

解得，

此時點E的坐標是或；

若∠ACE=90°，則，

解得n=5，此時點E的坐標是 ；

若∠CAE=90°，則，

解得 n=-5，此時點E的坐標是；

綜上所述點E的坐標是或或或．