Question

【題目】如圖，以點為圓心，為半徑作優弧，連接，，且，在弧上任意取點(點在點的順時針方向）且使，以為邊向弧內作正三角形．

（1）發現：不論點在弧上什么位置，點與點的距離不變，點與點的距離是_____；點到直線的最大距離是_______．

（2）思考：當點在直線上時，求點到的距離，在備用圖1中畫出示意圖，并寫出計算過程．

（3）探究：當與垂直或平行時，直接寫出點到的距離．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；畫出示意圖見解析；（3）

【解析】

（1）根據垂直平分線的判定可證得CO垂直平分AB，再利用勾股定理分別求得OG、CG的長，進而可得OC長，如圖2，當CO⊥EF時，點到直線的距離最大，利用60的正弦值可求得OH的長，進而求得EF的最大值；

（2）先畫出示意圖，然后先證∽，由相似三角形的性質可求得點到的距離；

（3）分別畫出⊥及∥時的示意圖，然后利用特殊角的三角函數值可求得點到的距離．

（1）解：如圖1，連接OA、OB、OC，延長OC交AB于點G，

在正△ABC中，AB＝BC＝AC＝2

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC垂直平分AB，

∴AG＝AB＝1，

∴在Rt△AGC中，CG＝，

在Rt△AGO中，OG＝，

∴OC＝OE-CE＝,

如圖2，延長CO交EF于點H，

當CO⊥EF時，點到直線的距離最大，最大距離為CH的長，

∵OE＝OF，CO⊥EF，

∴CO平分∠EOF，

∵

∴，

在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，

∴cos60°＝，

∴OH＝，

∴CH＝CO＋OH＝

∴點到直線的最大距離是．

（2）如備用圖1，當點在直線時，

由可知，

點都在線段的垂直平分線上，

過點作的垂線垂足為，

則為中點，直線過點.

由

可得∽，

，

，

（3）如圖3，當BC⊥OE時，設垂足為點M，

∵∠EOF＝120°，

∴∠COM＝180°-120°＝60°，

在Rt△COM中，sin∠COM＝，

∴sin60°＝,

∴

如圖4，當BC∥OE時，過點C作CN⊥OE，垂足為點N，

∵BC∥OE ，

∴∠CON＝∠GCB＝30°，

在Rt△CON中，sin∠CON＝，

∴sin30°＝,

∴，

綜上所述，當與垂直或平行時，點到的距離為或．