Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2x+c（c為常數）的對稱軸如圖所示，且拋物線過點C（0，c）．

（1）當c＝﹣3時，點（x1，y1）在拋物線y＝x2﹣2x+c上，求y1的最小值；

（2）若拋物線與x軸有兩個交點，自左向右分別為點A、B，且OA＝OB，求拋物線的解析式；

（3）當﹣1＜x＜0時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）-4（2）y＝x2﹣2x+或y＝x2﹣2x﹣8（3）當﹣3＜c＜0時，拋物線與x軸有且只有一個公共點

【解析】

（1）根據二次函數的性質，求出頂點的縱坐標即可解決問題；

（2）分兩種情形①當點A、B都在原點的右側時，如解圖1，②當點A在原點的左側，點B在原點的右側時，如解圖2，分別求解即可；

（3）把問題轉化為不等式即可解決問題；

（1）當c＝﹣3時，拋物線為y＝x2﹣2x﹣3，

∴拋物線開口向上，有最小值，

∴y最小值＝ ＝﹣4，

∴y1的最小值為﹣4；

（2）拋物線與x軸有兩個交點，

①當點A、B都在原點的右側時，如解圖1，

設A（m，0），

∵OA＝OB，

∴B（2m，0），

∵二次函數y＝x2﹣2x+c的對稱軸為x＝1，

由拋物線的對稱性得1﹣m＝2m﹣1，解得m＝，

∴A（，0），

∵點A在拋物線y＝x2﹣2x+c上，

∴0＝﹣+c，解得c＝，

此時拋物線的解析式為y＝x2﹣2x+；

②當點A在原點的左側，點B在原點的右側時，如解圖2，

設A（﹣n，0），

∵OA＝OB，且點A、B在原點的兩側，

∴B（2n，0），

由拋物線的對稱性得n+1＝2n﹣1，

解得n＝2，

∴A（﹣2，0），

∵點A在拋物線y＝x2﹣2x+c上，

∴0＝4+4+c，解得c＝﹣8，

此時拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣8，

綜上，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x+或y＝x2﹣2x﹣8；

（3）∵拋物線y＝x2﹣2x+c與x軸有公共點，

∴對于方程x2﹣2x+c＝0，判別式b2﹣4ac＝4﹣4c≥0，

∴c≤1．

當x＝﹣1時，y＝3+c；當x＝0時，y＝c，

∵拋物線的對稱軸為x＝1，且當﹣1＜x＜0時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，

∴3+c＞0且c＜0，解得﹣3＜c＜0，

綜上，當﹣3＜c＜0時，拋物線與x軸有且只有一個公共點．