Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，頂點A在第一象限，B，C在x軸的正半軸上（C在B的右側），BC=2，AB=2，△ADC與△ABC關于AC所在的直線對稱．

（1）當OB=2時，求點D的坐標；

（2）若點A和點D在同一個反比例函數的圖象上，求OB的長；

（3）如圖2，將第（2）題中的四邊形ABCD向右平移，記平移后的四邊形為A1B1C1D1，過點D1的反比例函數y=（k≠0）的圖象與BA的延長線交于點P．問：在平移過程中，是否存在這樣的k，使得以點P，A1，D為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點D坐標為（5，）；（2）OB=3；（3）k=12．

【解析】（1）如圖1中，作DE⊥x軸于E，解直角三角形清楚DE，CE即可解決問題；

（2）設OB=a，則點A的坐標（a，2），由題意CE=1．DE=，可得D（3+a，），點A、D在同一反比例函數圖象上，可得2a=（3+a），求出a的值即可；

（3）分兩種情形：①如圖2中，當∠PA1D=90°時．②如圖3中，當∠PDA1=90°時．分別構建方程解決問題即可；

（1）如圖1中，作DE⊥x軸于E．

∵∠ABC=90°，

∴tan∠ACB=，

∴∠ACB=60°，

根據對稱性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，

∴∠DCE=60°，

∴∠CDE=90°-60°=30°，

∴CE=1，DE=，

∴OE=OB+BC+CE=5，

∴點D坐標為（5，）．

（2）設OB=a，則點A的坐標（a，2），

由題意CE=1．DE=，可得D（3+a，），

∵點A、D在同一反比例函數圖象上，

∴2a=（3+a），

∴a=3，

∴OB=3．

（3）存在．理由如下：

①如圖2中，當∠PA1D=90°時．

∵AD∥PA1，

∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°，

在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=2，

∴AA1==4，

在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°，

∴PA=，

∴PB=，

設P（m，），則D1（m+7，），

∵P、A1在同一反比例函數圖象上，

∴m=（m+7），

解得m=3，

∴P（3，），

∴k=10．

②如圖3中，當∠PDA1=90°時．

∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1，

∴△AKP∽△DKA1，

∴．

∴，

∵∠AKD=∠PKA1，

∴△KAD∽△KPA1，

∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°，

∴∠APD=∠ADP=30°，

∴AP=AD=2，AA1=6，

設P（m，4），則D1（m+9，），

∵P、A1在同一反比例函數圖象上，

∴4m=（m+9），

解得m=3，

∴P（3，4），

∴k=12．