Question

【題目】已知線段AB，過點A的射線l⊥AB．在射線l上截取線段AC＝AB，連接BC，點M為BC的中點，點P為AB邊上一動點，點N為線段BM上一動點，以點P為旋轉中心，將△BPN逆時針旋轉90°得到△DPE，B的對應點為D，N的對應點為E．

（1）當點N與點M重合，且點P不是AB中點時，

①據題意在圖中補全圖形；

②證明：以A，M，E，D為頂點的四邊形是矩形．

（2）連接EM．若AB＝4，從下列3個條件中選擇1個：

①BP＝1，②PN＝1，③BN＝，

當條件　 （填入序號）滿足時，一定有EM＝EA，并證明這個結論．

Answer 1

【答案】（1）①補全圖形見解析；②證明見解析；（2）③．

【解析】

（1）①按照題中敘述畫出圖形即可；②如圖，連接AE，AM．由題意可知△ABC是等腰直角三角形，由旋轉可知△DPE≌△BPN，通過一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形及有一個角是直角的四邊形是矩形進行判斷即可；
（2）當條件③BN=滿足時，一定有EM=EA．先證明四邊形FMDE是矩形再證明FE垂直平分AM，從而可得答案．

（1）①補全圖形如下：

②證明：如圖，連接AE，AM．

由題意可知：D在BC上，△ABC是等腰直角三角形，則AM⊥BC，AM＝BC，

∵旋轉，

∴△DPE≌△BPN，

∴DE＝BN＝BC，∠EDP＝∠PBD．

∴∠EDB＝∠EDP+∠PDB＝∠PBD+∠PDB＝90°，

∴ED⊥BC，

∴ED∥AM，且ED＝AM，

∴四邊形AMDE為平行四邊形．

又∵AM⊥BC，

∴∠AMD＝90°，

∴四邊形AMDE是矩形．

（2）答：當條件③BN＝滿足時，一定有EM＝EA．

證明：與（1）②同理，此時仍有△DPE≌△BPN，

∴DE＝BN＝，DE⊥BC，

取AM的中點F，連接FE，如圖所示：

∵AB＝4，則AM＝4×sin45°＝2，

∴FM＝．

∴ED∥FM，且ED＝FM，

∴四邊形FMDE是平行四邊形，

又FM⊥BC，

∴∠FMD＝90°，

∴四邊形FMDE是矩形．

∴FE⊥AM，且FA＝FM＝，

∴EA＝EM．

故答案為：③．