Question

拋物線y=ax²+2ax+b與直線y=x+1交于A、C兩點，與y軸交于B，AB∥x軸，且S_△ABC=3，A點坐標為（-2，b）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）P為x軸負半軸上一點，以AP、AC為邊作平行四邊形CAPQ，是否存在P，使得Q點恰好在此拋物線上？若存在，請求出P、Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）AD⊥x軸于D，以OD為直徑作⊙M，N為⊙M上一動點，（不與O、D重合），過N作AN的垂線交x軸于R點，DN交y軸于點S，當N點運動時，線段OR、OS是否存在確定的數量關系寫出證明．

Answer 1

分析：（1）先根據直線AC的解析式求出A、C的坐標，然后代入拋物線中即可求得二次函數的解析式．
（2）可設出P點坐標，根據已知的平行四邊形的三點坐標表示出Q點坐標，已知了Q點在拋物線上，將Q點坐標代入拋物線的解析式中即可求出Q點坐標．
（3）本題可根據相似三角形求解．連接ON后可得出∠RNO和∠AND同為∠ANO的余角，因此兩角相等，而∠ADN與∠NOR都是90°加上一個等角（根據弦切角定理可得）．因此△AND∽△RON，可得出關于OR、AD、ON、AN的比例關系式．同理可在相似三角形DON和OSN中得出關于OS、OD、ON、AN的比例關系式，將等值替換后可得出OR：OS=AD：OD，即A點縱坐標絕對值與橫坐標絕對值的比為1：2．

解答：解：（1）拋物線對稱軸為直線x=-

2a

2a

=-1，則AB=2，將A（-2，b）代入y=x+1中，得b=-1，
聯立

y=ax2+2ax-1 y=x+1

，得

x=-2 y=-1

或

x= 1 a y= 1 a +1

，由AB=2，S_△ABC=3，
可知（

1

a

+1）-（-1）=3，解得a=1，
∴y=x²+2x-1．

（2）聯立

y=x2+2x-1 y=x+1

，
得A（-2，-1）C（1，2），
設P（a，0），則Q（3+a，3）
∴（3+a）²+2（3+a）-1=3，
∴a₁=-4-

5

，a₂=-4+

5

，
∴P（-4-

5

，0）或（-4+

5

，0）
∴Q（-1-

5

，3）或（-1+

5

，3）．

（3）∵△AND∽△RON，
∴

OR

AD

=

ON

DN

，
又∵△ONS∽△DNO，
∴

OS

OD

=

ON

DN

=

1

2

，
∴

OR

OS

=

1

2

．

點評：本題主要考查了二次函數和圓的相關知識，綜合性強，難度較大．