Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E為射線BC上一動點(不與C重合)，△CDE的外接圓交AE于P，若CP＝CD，則AP的值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接PD，如圖，利用圓周角定理證明∠EPD＝90°，∠CDP＝∠CED，再證明∠AEB＝∠CED，則可判斷△ABE≌△DCE，所以BE＝CE＝BC＝3，再利用勾股定理計算出AE，然后證明Rt△ADP∽Rt△EAB，從而利用相似比可計算出AP的長．

連接PD，如圖，

∵∠ECD＝90°，

∴DE為直徑

∴∠EPD＝90°，

∵CP＝CD，

∴∠CDP＝∠CED，

∵∠AEB＝∠CDP，

∴∠AEB＝∠CED，

∵AB＝CD，∠B＝∠ECD，

∴△ABE≌△DCE，

∴BE＝CE＝BC＝3，

在Rt△ABE中，AE＝＝5，

∵AD∥BC，

∴∠BEA＝∠DAE，

∴Rt△ADP∽Rt△EAB，

∴，即，

∴AP＝，

故答案為：．