Question

【題目】如圖，拋物線y=mx2﹣8mx+12m（m＞0）與x軸交于A，B兩點（點B在點A的左側），與y軸交于點C，頂點為D，其對稱軸與x軸交于點E，聯接AD，OD．

（1）求頂點D的坐標（用含m的式子表示）；

（2）若OD⊥AD，求該拋物線的函數表達式；

（3）在（2）的條件下，設動點P在對稱軸左側該拋物線上，PA與對稱軸交于點M，若△AME與△OAD相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）頂點D的坐標為（4，﹣4m）；（2）y=x2﹣4x+6；（3）點P的坐標（0，6）或（1，）．

【解析】分析：（1）把拋物線解析式配成頂點式得到D點坐標；

（2）先解方程mx2-8mx+12m=0得到A（6，0），B（2，0），再證明△DEO∽△AED，利用相似比得到4m：2=4：4m，然后求出m即可得到拋物線解析式；

（3）由（2）得D（4，-2），利用相似的傳遞性得到△AME與△EAD相似，由于∠ADO=∠AEM=90°，根據相似三角形的判定，當時，△AEM∽△DEA，即，解得EM=，當，則EM=DE=2，則EM=DE=2，分別確定對應M點的坐標，求出相應直線AM的解析式，然后把直線AM的解析式與拋物線解析式組成方程組，再解方程組可得到對應P點坐標．

詳解：（1）∵y=m（x﹣4）2﹣4m，

∴頂點D的坐標為（4，﹣4m）；

（2）當y=0時，mx2﹣8mx+12m=0，解得x1=2，x2=6，

∴A（6，0），B（2，0），

∴OA=6，

∵拋物線的對稱軸為x=4，

∴點E（4，0），

則OE=4，AE=2，DE=4m，

∵OD⊥AD，

∴∠ADO=90°，即∠ODE+∠ADE=90°，

而∠ODE+∠DOE=90°，

∴∠DOE=∠ADE，

∴△DEO∽△AED，

∴DE：AE=OE：DE，即4m：2=4：4m，解得m1=，m2=﹣（舍去），

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+6；

（3）由（2）得D（4，﹣2），

∵△ADO與△AED相似，△AME與△OAD相似

∴△AME與△EAD相似，

∵∠ADO=∠AEM=90°，

∴當時，△AEM∽△DEA，即，解得EM=，

∴M（4，）

易得直線AM的解析式為y=﹣x+3，

解方程組得或，

∴此時P點坐標為（1，），

當，則EM=DE=2，

∴M（4，2），

易得直線AM的解析式為y=﹣x+6，

解方程組得或，

∴此時P點坐標為（0，6），

綜上所述，點P的坐標（0，6）或（1，）．