Question

【題目】拋物線與軸交于兩點，與軸交于，其中，點為拋物線上一動點，過點作平行交拋物線于，

（1）求拋物線的解析式；

（2）①當兩點重合時時，所在直線解析式為_____________．

②在①的條件下，取線段中點，連接，判斷以點為頂點的四邊形是什么四邊形，并說明理由？

（3）已知，連接，軸，交于，軸上有一動點，，的長為______．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②菱形，見解析；（3）或

【解析】

（1）將代入即可解答；

（2）①待定系數法求出直線BC的解析式，當兩點重合時，即直線與拋物線只有一個交點，結合直線PQ∥BC，即可設直線PQ為，聯立拋物線解析式，根據根的判別式即可求出m的值，進而得到直線PQ的解析式；

②畫出圖形，根據M是BC的中點，計算出BM=，聯立方程組求出點P的坐標，得到OP=，從而證明四邊形POMB是平行四邊形，再根據OP=OM，從而證明平行四邊形POMB是菱形即可；

（3）求出直線BN的解析式，得出點E的坐標以及∠ONB=60°，∠OBN=30°，如圖所示，以NE為邊，∠ONB為內角，構造等邊△HNE，并作△HNE的外接圓圓P，交x軸于點F1，F2，連接NP，EP，NF1，EF1，NF2，EF2，根據同圓中等弦所對的圓周角相等，即可確定∠NF1E=∠NF2E=∠NHE=60°，從而確定點F，根據∠PNE=∠PEN=30°，∠PEN=∠OBN=30°，得到PE∥OB，結合PN=PE，列出方程，求出點P的坐標，再由垂徑定理即可求出，從而得出OF1及OF2即可．

解：（1）將代入得：

，解得：，

∴；

（2）①設直線BC的解析式為y=kx+a，將代入得：

，解得：，

∴直線BC為：，

當兩點重合時，即直線與拋物線只有一個交點，

∵直線PQ∥BC，

∴設直線PQ的解析式為，

由，得，

∴，解得m=0，

∴直線PQ的解析式為，

故答案為：；

②如圖，∵，點M是BC的中點，

∴M（2,1）

∴BM=，OM=，

由得，

∴P（2，-1），

∴OP=，

∵直線PQ經過原點，

∴OP∥BM，

又∵OP=BM，

∴四邊形POMB是平行四邊形，

又∵OP=OM=，

∴平行四邊形POMB是菱形；

（3）設直線BN的解析式為y=px+q，

將，代入得：

，解得：，

∴直線BN的解析式為：，

當x=3時，y=,

∴E，

∵OB=4，ON=，

∴tan∠ONB=，

∴∠ONB=60°，則∠OBN=30°，

如圖所示，以NE為邊，∠ONB為內角，構造等邊△HNE，并作△HNE的外接圓圓P，交x軸于點F1，F2，連接NP，EP，NF1，EF1，NF2，EF2，

∴∠NF1E=∠NF2E=∠NHE=60°，

∵點P是△HNE的外接圓圓心，

∴NP，PE分別平分∠ONE，∠HEN，

∴∠PNE=∠PEN=30°，

∴∠PEN=∠OBN=30°，

∴PE∥OB，

∴點P的縱坐標為，

設點P為，

∵PN=PE，

∴，解得：n=1，

∴P，

∴圓P的半徑為PE=2，

過點P作PG⊥x軸于點G，連接PF1，

則GP=，OG=1，PF1=2，

由垂徑定理得：，

∴OF1=GF1-OG==，OF2=GF2+OG==，

故答案為：或．