Question

【題目】如圖，在△ABC中， tan∠ABC=，∠C=45°，點D、E分別是邊AB、AC上的點，且DE∥BC，BD=DE=5，動點P從點B出發，沿B-D-E-C向終點C運動，在BD-DE上以每秒5個單位長度的速度運動，在EC上以每秒個單位長度的速度運動，過點P作PQ⊥BC于點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點B、點N始終在PQ同側． 設點P的運動時間為（）（＞0），正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S．

（1）當點P在BD-DE上運動時，用含的代數式表示線段DP的長．

（2）當點N落在AB邊上時，求的值．

（3）當點P在DE上運動時，求S與之間的函數關系式．

（4）當點P出發時，有一點H從點D出發，在線段DE上以每秒5個單位長度的速度沿D-E-D連續做往返運動，直至點P停止運動時，點H也停止運動．連結HN，直接寫出HN與DE所夾銳角為45°時的值．

Answer 1

【答案】（1）當0＜≤1時，DP=；當1＜≤2時，DP=；（2）；（3）；（4）滿足條件的t的值為：0.1或或.

【解析】

（1）分兩種情形：當0＜t≤1時，當1＜t≤2時，分別求解即可．
（2）根據DP=DM，構建方程求解即可．
（3）分三種情形：①如圖2-1中，當1≤t≤時，重疊部分是四邊形BQPD．②如圖2-2中，當＜t≤時，重疊部分是五邊形MQPDK．③如圖2-3，當＜t≤2時，重疊部分是正方形PQMN，分別求解即可．

（4）分三種情形：點P在線段BD上一種情形，點P在線段EC上兩種情形，分別畫出圖形，構建方程求解即可．

解：（1）根據題意，∵BD=DE=5，

∴點P從點B運動到點D，所用的時間為：，

點P從點D運動到點E，所用的時間為：；

當0＜≤1時，點P在BD上運動，DP=；

當1＜≤2時，點P在DE上運動，DP=；

（2）如圖1中，

在Rt△BDM中，

∵∠DMB=90°，tanB=，BD=5，

∴DM=4，BM=3，

∵DP=DM，

∴=4，

解得：t＝．

（3）如圖，當1≤≤時，重疊部分是四邊形BQPD，則

S=；

如圖，當＜≤時，重疊部分是五邊形MQPDK，

S=；

如圖，當＜≤2時，重疊部分是正方形PQMN，S=；

綜上所述，；

（4）如圖，作HK⊥NP交NP的延長線于K．

由題意∠HNK=45°，

∵HK⊥NK，

∴△NHK是等腰直角三角形，

∴NK=HK，

可得4t+3-3t+5t=4-4t，

解得：t=0.1；

如圖，當2＜t＜3時，滿足EH=PN，條件成立．

可得：，

解得：t＝；

如圖3-2中，當t＞3時，滿足EH=PN，條件成立．

可得：，

解得：．

綜上所述，滿足條件的t的值為0.1或或．