Question

【題目】如圖，在中，點，點在軸正半軸上，以為一邊作等腰直角，使得點在第一象限．

（1）求出所有符合題意的點的坐標；

（2）在內部存在一點，使得之和最小，請求出這個和的最小值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）這個和的最小值．

【解析】

（1）根據C（1，0），得到OC=1，解直角三角形得到AC=2，OA=，如圖1，①當AC=AP，∠CAP=90°，過P1作P1B⊥y軸于B，②當AC=CP，∠ACP=90°，過P2作P2D⊥x軸于D，③當CP=AP，∠APC=90°，過P3作P3E⊥x軸于E，解直角三角形即可得到結論；

（2）任取△AOC內一點Q，連接AQ、BQ、CQ，將△ACQ繞點C順時針旋轉60°得到△A′CQ′，于是得到當A′Q′，OQ，QQ′這三條線段在同一直線時最短，即AQ+OQ+CQ的最小值=OA′，過A′作A′B⊥x軸于B，解直角三角形即可得到結論．

（1）如圖1，

∵C（1，0），

∴OC=1，

∵在Rt△AOC中，∠A=30°，

∴AC=2，OA=，

如圖1，①當AC=AP，∠CAP=90°，過P1作P1B⊥y軸于B，

則△ABP1≌△COA，

∴AB=OC=1，BP1=AO=，

∴OB=1+，

∴P1（，1+）；

②當AC=CP，∠ACP=90°，過P2作P2D⊥x軸于D，

同理可得：CD=OA=，P2D=1，

∴P2（1+，1）；

③當CP=AP，∠APC=90°，過P3作P3E⊥x軸于E，

則P3是AP2的中點，

∴OE=OD=，P3E=（OA+P2D）=，

∴P3（，）；

綜上所述，P（，1+），（1+，1），（，）；

（2）如圖2，任取△AOC內一點Q，連接AQ、OQ、CQ，

將△ACQ繞點C順時針旋轉60°得到△A′CQ′，

∴A′C=AC=2，CQ=CQ′，AQ=A′Q′，∠ACA′=∠QCQ′=60°，

∴△QCQ′是等邊三角形，

∴CQ=QQ′，

∴AQ+OQ+CQ=A′Q′+OQ+QQ′，

∴當A′Q′，OQ，QQ′這三條線段在同一直線時最短，即AQ+OQ+CQ的最小值=OA′，

∵∠ACO=∠ACA′=60°，

∴∠A′CB=60°，

過A′作A′B⊥x軸于B，

∴BC=A′C=1，A′B=，

∴OB=2，

∴，

∴AQ、OQ、CQ之和的最小值是．