Question

【題目】如圖1，拋物線y＝－x2－x＋3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E（4, 0），M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A（－4， 0）B（2， 0）；（2）（1，）,；（3）y＝x－3

【解析】

試題分析：（1）根據二次函數當y=0時得出A、B兩點的坐標；（2）△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等．過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側有對應的點D′，根據三角形相似得出點的坐標；（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M．以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了，根據Rt△EGM得出EM的長度，從而得出點的坐標，然后求出函數解析式.

試題解析：（1）由函數解析式可得交點坐標為A（－4， 0）B（2， 0）．

（2）△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等．

過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側有對應的點D′．

設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H．

由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．∴

∴，點D的坐標為

∵AC//BD，AG＝BG，∴HG＝DG．

而D′H＝DH，

∴D′G＝3DG．

∴D′的坐標為

（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M．

以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了．

連接GM，那么GM⊥l．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6

∴點M1的坐標為（－4， 6），過M1、E的直線l為y＝－x＋3．

根據對稱性，直線l還可以是y＝x－3．