Question

【題目】如圖,A,B,C三點在同一直線上,分別以AB,BC（AB>BC）為邊,在直線AC的同側作等邊ΔABD和等邊ΔBCE,連接AE交BD于點M,連接CD交BE于點N,連接MN. 以下結論：①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等邊三角形.其中正確的是__________（把所有正確的序號都填上）.

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

①由三角形ABD與三角形BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩條邊對應相等，兩個角相等都為60°，利用SAS即可得到三角形ABE與三角形DBC全等即可得結論；

②由①中三角形ABE與三角形DBC全等，利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定義得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出三角形EMB與三角形CNB全等，利用全等三角形的對應邊相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出三角形BMN為等邊三角形；可得∠BMN=60°，進行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，從而可判斷②，⑤正確；

③無法證明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；

④由①得∠EAB=∠CDB，根據三角形內角和和外角的性質可證得結論.

①∵等邊△ABD和等邊△BCE，

∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠ABE=∠DBC=120°，

在△ABE和△DBC中，

∵，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴AE=DC，

故①正確；

∵△ABE≌△DBC，

∴∠AEB=∠DCB，

又∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，

即∠MBE=∠NBC=60°，

在△MBE和△NBC中，

∵，

∴△MBE≌△NBC（ASA），

∴BM=BN，∠MBE=60°，

則△BMN為等邊三角形，

故⑤正確；

∵△BMN為等邊三角形，

∴∠BMN=60°,

∵∠ABD=60°,

∴∠BMN=∠ABD，

∴MN//AB，

故②正確；

③無法證明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；

④由①得∠EAB=∠CDB，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，

∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，

∵∠DPM =∠PAC+∠PCA

∴∠DPM =60°，故④正確，

故答案為：①②④⑤.