Question

【題目】（13分）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得線段BE、EF、FD之間的數量關系為 ．

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，線段BE、EF、FD之間存在什么數量關系，為什么？

（3）如圖3，點A在點O的北偏西30°處，點B在點O的南偏東70°處，且AO=BO，點A沿正東方向移動249米到達E處，點B沿北偏東50°方向移動334米到達點F處，從點O觀測到E、F之間的夾角為70°，根據（2）的結論求E、F之間的距離．

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+DF；（2）成立；（3）583m．

【解析】

試題（1）因為△AEF≌△AGF，所以EF=GF,又DG=BE，所以EF=BE+FD ；（2）類比（1）的作法，延長FD到點G，使DG=BE．連結AG，可證△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，然后等量代換可得EF="GF=" BE+FD；（3）連結EF，由（2）的結論可得EF=AE+BF=249+334=583米.

試題解析：（1）EF=BE+FD 3分

（2）延長FD到點G，使DG=BE．連結AG，

∠B+∠ADF=180° ∴∠B=∠ADG 4分

又AB=AD BE=DG

∴△ABE≌△ADG， 5分

∴AE=AG ∠GAD=∠EAB

∵∠EAF=∠BAD ∴∠EAF=∠GAF 6分 又AF=AF

∴△AEF≌△AGF，7分

∴EF="GF=" BE+FD 8分

（3）∠AOH=30° ∠BOD=20°

∠CBF=50°

∴∠OBF=120°

∴∠OBF+∠A=180° 10分

∠AOB=140° ∴∠EOF=∠AOB 12分

又AO=BO

∴根據（2）的結論可得EF=583米 13分