Question

【題目】在ABCD中，AE平分∠DAB交CD于E點、CF平分∠DCB交AB于點F．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）若BG平分∠ABC交CD于G點，且AD＝2EG＝2，求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）14或10．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質和角平分線的性質可得∠DEA＝∠DCF，可證AE∥CF，即可得結論；

（2）分兩種情況討論，由角平分線的性質和平行四邊形性質可求CD的長度，即可求四邊形ABCD的周長．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD，∠DAB＝∠DCB

∵AE平分∠DAB交CD于E點、CF平分∠DCB交AB于點F．

∴∠DAE＝∠EAB＝∠DAB，∠DCF＝∠BCF＝∠DCB，

∴∠EAB＝∠DCF

∵AB∥CD

∴∠DEA＝∠EAB

∴∠DEA＝∠DCF

∴AE∥CF，且AB∥CD

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）如圖，當點G在點E右側，

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD，AD＝BC＝2

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠EAB

∵AB∥CD

∴∠DEA＝∠EAB

∴∠AED＝∠DAE

∴AD＝DE＝2，

同理可得：BC＝GC＝2

∵AD＝2EG＝2

∴EG＝1

∴CD＝DE+EG+GC＝5

∴四邊形ABCD的周長＝2（AD+CD）＝14

如圖，若點G在點E左側，

同理可得：DE＝GC＝2，GE＝1

∴CD＝DE+EC﹣GE＝3

∴四邊形ABCD的周長＝2（AD+CD）＝10

綜上所述，四邊形ABCD的周長為14或10．