Question

【題目】已知：矩形的邊，，點從點出發沿線段向點勻速運動，點同時從點出發沿線段向點勻速運動，速度均為，當一個點到達終點時另一個點也停止運動．連接，以為對角線作正方形，連接，則的長度為____．

Answer 1

【答案】

【解析】

過點G作GN⊥BC交CB的延長線于N，過點E作EM⊥GN，交NG的延長線于M，通過證明點G，點B，點F，點E四點共圓，可得∠GBE=∠GFE=45°，可得GN=BN，通過證明△MEG≌△NGF，可得MG=NF=BF+BN=6-FC+BN，GN=ME，由線段的和差關系可求BN的長，即可求解．

如圖，過點G作GN⊥BC交CB的延長線于N，過點E作EM⊥GN，交NG的延長線于M，

∵點E，點F，速度均為1cm/s，
∴AE=CF，
∵四邊形EGFH是正方形，
∴EG=GF，∠EGF=∠ABC=90°，∠EFG=45°，
∴點G，點B，點F，點E四點共圓，
∴∠GBE=∠GFE=45°，
∴∠GBN=45°，
∵GN⊥BC，
∴∠NGB=∠GBN=45°，
∴GN=BN，
∵EM⊥GN，GN⊥BC，∠EBN=90°，
∴四邊形EBNM是矩形，
∴BE=MN=8-AE，ME=NB，
∵EM⊥GN，GN⊥BC，
∴∠M=∠N=90°，
∴∠MGE+∠MEG=90°，
又∵∠MGE+∠NGF=90°，
∴∠MEG=∠NGC，
∴△MEG≌△NGF（AAS），
∴MG=NF=BF+BN=6-FC+BN，
GN=ME，
∴MN=MG+GN=6-FC+BN+ME=6-AE+2BN=8-AE，
∴BN=1，
∴GN=BN=1，
∴GB=BN=，

故答案為：．