Question

【題目】解答下列問題：

（1）閱讀理解：

如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：延長到點使，再連接（或將繞著逆時針旋轉得到，把、，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷.中線的取值范圍是______.

（2）問題解決：

如圖2，在中，是邊上的中點，于點，交于點，交于點，連接，求證：.

（3）問題拓展：

如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交，于、兩點，連接，探索線段，，之間的數量關系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）2<AD<8；（2）證明見解析；（3）EF=BE+DF，證明見解析.

【解析】

（1）利用SAS可證明△ADC≌△EDB，可得BE=AC=6，根據三角形三邊關系即可得答案；（2）延長FD至點M，使DM=DF，連接BM、EM，同（1）可得CF=BM，根據垂直平分線性質可得EF=EM，利用三角形三邊關系即可得答案；（3）延長AB至N，使BN=DF，連接CN，可得∠NBC=∠D，利用SAS證明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，利用角的和差關系可得∠ECN=70°=∠ECF，利用SAS證明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出結論．

（1）∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=DE，

∴△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=6，

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，即10-6<2AD<10+6，

∴2<AD<8，

故答案為：2<AD<8

（2）如圖，延長FD至點M，使DM=DF，連接BM、EM，

同（1）得CF=BM，

∵FD=MD，DE⊥DF，

∴EF=EM，

在△BEM中，BE+BM>EM，

∴BE+CF>EF.

（3）EF=BE+DF，證明如下：

如圖，延長AB至N，使BN=DF，連接CN，

∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠NBC=180°，

∴∠D=∠NBC，

在△NBC和△FDC中，，

∴△NBC≌△FDC，

∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，

∵∠ECF=70°，∠BCD=140°，

∴∠FCD+∠ECB=70°，

∴∠NCB+∠ECB=70°，即∠ECN=70°=∠ECF，

在△FCE和△NCE中，，

∴△NCE≌△FCE，

∴EF=EN=BE+BN=BE+DF.