Question

【題目】綜合與實踐

背景閱讀 早在三千多年前，我國周朝數學家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被記載于我國古代著名數學著作《周髀算經》中，為了方便，在本題中，我們把三邊的比為3：4：5的三角形稱為（3，4，5）型三角形，例如：三邊長分別為9，12，15或3，4，5的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形．

實踐操作 如圖1，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．

第一步：如圖2，將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在AB上的點E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平．

第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點D與點F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF．

第三步：如圖4，將圖3中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD′H，再沿AD′折疊，折痕為AM，AM與折痕EF交于點N，然后展平．

問題解決

（1）請在圖2中證明四邊形AEFD是正方形．

（2）請在圖4中判斷NF與ND′的數量關系，并加以證明；

（3）請在圖4中證明△AEN（3，4，5）型三角形；

探索發現

（4）在不添加字母的情況下，圖4中還有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？請找出并直接寫出它們的名稱．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）NF=ND′，理由見解析；（3）證明見解析；（4）△MFN，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．

【解析】

試題（1）根據題中所給（3，4，5）型三角形的定義證明即可；

（2）NF=ND′，證明Rt△HNF≌Rt△HND′即可；

（3）根據題中所給（3，4，5）型三角形的定義證明即可；

（4）由△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是與△AEN相似的△都是（3，4，5）型三角形．

試題解析：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠DAE=90°．由折疊知：AE=AD，∠AEF=∠D=90°，∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°，∴四邊形AEFD是矩形．∵AE=AD，∴矩形AEFD是正方形．

（2）NF=ND′．證明如下：

連結HN．由折疊知：∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′．

∵四邊形AEFD是正方形，∴∠EFD=90°．

∵∠AD′H=90°，∴∠HD′N=90°．

在Rt△HNF和Rt△HND′中，∵HN=HN，HF=HD′，∴Rt△HNF≌Rt△HND′，∴NF=ND′．

（3）∵四邊形AEFD是正方形，∴AE=EF=AD=8cm，由折疊知：AD′=AD=8cm，EN=EF-NF=（8-x）㎝．

在Rt△AEN中，由勾股定理得： ，即，解得：x=2，∴AN=8+x=10（㎝），EN=6（㎝），∴AN=6：8：10=3：4：5，∴△AEN是（3，4，5）型三角形．

（4）圖4中還有△MFN，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．

∵CF∥AE，∴△MFN∽△AEN．

∵EN：AE：AN=3：4：5，∴FN：MF：CN=3：4：5，∴△MFN是（3，4，5）型三角形；

同理，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．