Question

【題目】（本小題滿分11分）已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC．

（1）如圖1，過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明；

（2）如圖2，E是直線BC上一點，且CE=BD，直線AE、CD相交于點P，∠APD的度數是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）△CDF是等腰直角三角形，（1分）

理由如下：

∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，（2分）

在△FAD與△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），（3分）

∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，（4分）

∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，

∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形.（5分）

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連接DF，CF，如圖，

∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，

在△FAD與△DBC中，，

∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，（6分）

∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，

∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，

∴△CDF是等腰直角三角形，（7分）

∴∠FCD=45°，（8分）

∵AF∥CE，且AF=CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形，（10分）

∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．（11分）