Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為C(1，4)，交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為(3，0)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P為直線BD上方拋物線上一點，若，請求出點P的坐標．

（3）如圖3，M為線段AB上的一點，過點M作MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，若△DNM∽△BMD，請求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）點P的坐標為（1,4）或（2,3）；（3）點M的坐標為（，0）.

【解析】

（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-1）2+4，然后將點B的坐標代入函數解析式即可求得此拋物線的解析式；
(2)如圖2，過點P作PQ//y軸交DB于Q，求出直線BD的解析式，設P(m, -m2+2m+3)，則Q(m,-m+3)，得到S△PBD =-m2+m，又，解方程求出m的值，再求點P的坐標即可；

(3)設M(c,0),由△AMN∽△AMD,得到,得出MN=，DM=，再由△DNM∽△BMD，得到，即9+c2=×,求解即可的出答案.

（1）設所求拋物線的解析式為：y=a（x-1）2+4，

將點B（3，0）代入，得：（3-1）2a+4=0

解得：a=-1

∴解析式為：y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3

(2)如圖2，過點P作PQ//y軸交DB于Q，

∵拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，

∴點D的坐標為（0,3），

設直線BD的解析式為y=kx+b,

把D(0,3)和B(3,0)代入y=kx+b得，，

解得：

∴直線BD的解析式為y=-x+3,

設P(m, -m2+2m+3)，則Q(m,-m+3)．
∴PQ=-m2+2m+3(-m+3)= -m2+3m,
又∵S△PBD=S△PQD+S△PQB
=mPQ+ (3m)PQ=PQ×3=m2+m，
∵,

∴-m2+m=3

解得：m1=1,m2=2,
∴點P的坐標為（1,4）或（2,3）

(3) ∵BD=,設M(c,0),

∵MN∥BD,

∴△AMN∽△AMD,

∴,即，

∴MN=，DM=，

∵△DNM∽△BMD，

∴,即DM2=BD·MN,

∴9+c2=×,

解得：c=或c=3(舍去)，

∴點M的坐標為（，0）.