Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥BC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=　 　，PD=　 　．

（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．并探究如何改變Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；

（3）如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）8-2t， ．（2）不存在；當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，經(jīng)過(guò)秒，四邊形PDBQ是菱形．（3）線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2單位長(zhǎng)度．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA=，則可求得QB與PD的值；

（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長(zhǎng)，由BQ∥DP，可得當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時(shí)DP與BD的長(zhǎng)，由DP≠BD，可判定PDBQ不能為菱形；然后設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；

（3）設(shè)E是AC的中點(diǎn)，連接ME．當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)此時(shí)PQ的中點(diǎn)為F，連接EF，由△PMN∽△PQC．利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

試題解析：（1）根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，

∴QB=8-2t，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，

∴∠APD=90°，

∴tanA=，

∴PD= ．

（2）不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ACB，

∴，即，

∴AD= ，

∴BD=AB-AD=10- ，

∵BQ∥DP，

∴當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，

即8-2t= ，解得：t=．

當(dāng)t=時(shí)，PD=，BD=10-，

∴DP≠BD，

∴PDBQ不能為菱形．

設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，

則BQ=8-vt，PD= ，BD=10- ，

要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，

當(dāng)PD=BD時(shí)，即=10- ，解得：t=

當(dāng)PD=BQ，t=時(shí)，即，解得：v=

當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，經(jīng)過(guò)秒，四邊形PDBQ是菱形．

（3）如圖2，以C為原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

依題意，可知0≤t≤4，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)t=4時(shí)點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（1，4）．

設(shè)直線M1M2的解析式為y=kx+b，

∴，

解得

，

∴直線M1M2的解析式為y=-2x+6．

∵點(diǎn)Q（0，2t），P（6-t，0）

∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ中點(diǎn)M3的坐標(biāo)（，t）．

把x=代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，

∴點(diǎn)M3在直線M1M2上．

過(guò)點(diǎn)M2作M2N⊥x軸于點(diǎn)N，則M2N=4，M1N=2．

∴M1M2=2

∴線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2單位長(zhǎng)度．