Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3．

（1）在圖①中，P是BC上一點，EF垂直平分AP，分別交AD、BC邊于點E、F，求證：四邊形AFPE是菱形；

（2）在圖②中利用直尺和圓規作出面積最大的菱形，使得菱形的四個頂點都在矩形ABCD的邊上，并直接標出菱形的邊長．（保留作圖痕跡，不寫作法）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據矩形的性質和EF垂直平分AP推出AF＝PF＝AE＝PE即可判斷；

（2）以矩形的一條對角線和這條對角線的垂直平分線作菱形的對角線，此時的菱形即為矩形ABCD內面積最大的菱形．

（1）證明：如圖①

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠1＝∠2，

∵EF垂直平分AP，

∴AF＝PF，AE＝PE，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∴AE＝AF，

∴AF＝PF＝AE＝PE，

∴四邊形AFPE是菱形；

（2）如圖②，以矩形的一條對角線和這條對角線的垂直平分線作菱形的對角線，連接各個點，所得的菱形即為矩形ABCD內面積最大的菱形；

此時設菱形邊長為x，

則可得12+（3-x）2=x2，

解得x=，

所以菱形的邊長為．