Question

【題目】如圖1，點是正方形的中心，點是邊上一動點，在上截取，連結，．初步探究：在點的運動過程中：

(1)猜想線段與的關系，并說明理由．

深入探究：

(2)如圖2，連結，過點作的垂線交于點．交的延長線于點．延長交的延長線于點．

①直接寫出的度數．

②若，請探究的值是否為定值，若是，請求出其值；反之，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）EO⊥FO，EO=FO；理由見解析；（2）①；②=2

【解析】

（1）由正方形的性質可得BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°，由“SAS”可證△BEO≌△CFO，可得OE=OF，∠BOE=∠COF，可證EO⊥FO；

（2）①由等腰直角三角形的性質可得∠EOG的度數；

②由∠EOF=∠ABF=90°，可得點E，點O，點F，點B四點共圓，可得∠EOB=∠BFE，通過證明△BOH∽△BIO，可得，即可得結論．

解：（1）OE=OF，OE⊥OF，連接AC，BD，

∵點O是正方形ABCD的中心

∴點O是AC，BD的交點

∴BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°

∵CF=BE，∠ABO=∠ACB，BO=CO，

∴△BEO≌△CFO（SAS）

∴OE=OF，∠BOE=∠COF

∵∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE+∠BOF=90°

∴∠EOF=90°，

∴EO⊥FO.

（2）

①∵OE=OF，OE⊥OF，

∴△EOF是等腰直角三角形，OG⊥EF

∴∠EOG=45°

②BHBI的值是定值，

理由如下：

如圖，連接DB，

∵AB=BC=CD=2

∴BD=2，

∴BO=

∵∠AOB=∠COB=45°，∠HBE=∠GBI=90°

∴∠HBO=∠IBO=135°

∵∠EOF=∠ABF=90°

∴點E，點O，點F，點B四點共圓

∴∠EOB=∠BFE，

∵EF⊥OI，AB⊥HF

∴∠BEF+∠BFE=90°，∠BEF+∠EIO=90°

∴∠BFE=∠BIO，

∴∠BOE=∠BIO，且∠HBO=∠IBO

∴△BOH∽△BIO

∴

∴BHBI=BO2=2