Question

【題目】如圖1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以B為圓心、1為半徑作圓，設點P為⊙B上一點，線段CP繞著點C順時針旋轉90°，得到線段CD，連接DA、PD、PB．

（1）求證：AD=BP；

（2）若DP與⊙B相切，則∠CPB的度數為　　　　　　；

（3）如圖2，當B、P、D三點在同一條直線上時，求BD的長；

（4）BD的最小值為　　　　　　；BD的最大值為　　　　　　．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）∠CPB=45°或135°；（3）；（4）1，3．

【解析】分析: （1）根據SAS即可證明△ACD≌△BCP，再根據全等三角形的性質可得AD＝BP；

（2）利用切線的性質結合等腰直角三角形得出即可；

（3）當B、P、D三點在同一條直線上時利用勾股定理，可得BD的長；

（4）當∠PBC＝45°時，BD有最小值；進而得出BD有最大值．

詳解: （1）證明：如圖1，

∵∠ACB＝90°，∠DCP＝90°，

∴∠ACD＝∠BCP

在△ACD與△BCP中，

∵

AC＝BC

∠ACD＝∠BCP

CD＝CP

∴△ACD≌△BCP（SAS）

∴AD＝BP；

（2）解：如圖2，

∵CP＝CD，DP是⊙B的切線，∠PCD＝90°，

∴∠BPD＝90°，∠ADP＝∠APD＝45°，

∴∠CPB＝45°＋90°＝135°，

同理可得：∠CPB＝45°

故∠CPB＝45°或135°；

故答案為：故∠CPB＝45°或135°；

（3）解：∵△CDP為等腰直角三角形，

∴∠CDP＝∠CPD＝45°，∠CPB＝135°，

由（1）知，△ACD≌△BCP，

∴∠CDA＝∠CPB＝135°，AD＝BP＝1，

∴∠BDA＝∠CDA∠CDP＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝＝2，

∴BD＝＝；

（4）解：如圖3，

當B、D、A三點在同一條直線上時，BD有最小值，

由（1）得△ACD≌△BCP，

此時∠PBC＝45°時，BD的最小值為1；

同理可得：如圖4，

當B、D、A三點在同一條直線上時，

由（1）得△ACD≌△BCP，BD的最大值為：AB＋AD＝AB＋BP＝3.

故答案為：1，3．

點睛: 此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有全等三角形的判定與性質，分類思想的運用，最大值與最小值，注意分析問題要全面，以免漏解，有一定的難度．