Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，半徑OD⊥AC于點E，過點D的切線與BA延長線交于點F．

（1）求證：∠CDB=∠BFD；

（2）若AB=10，AC=8，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】試題分析：（1）根據切線的性質得到DF⊥OD，由于OD⊥AC，推出DF∥AC，根據平行線的性質得到∠CAB=∠BFD，于是得到結論；

（2）利用垂徑定理得出AE的長，再利用相似三角形的判定與性質得出FD的長．

試題解析：（1）∵DF與⊙O相切，

∴DF⊥OD，

∵OD⊥AC，

∴DF∥AC，

∴∠CAB=∠BFD，

∴∠CAB=∠CDB，

∴∠CDB=∠BFD；

（2）∵半徑OD垂直于弦AC于點E，AC=8，

∴AE=AC=×8＝4．

∵AB是⊙O的直徑，

∴OA=OD=AB=×10=5，

在Rt△AEO中，OE==3，

∵AC∥DF，

∴△OAE∽△OFD．

∴，

∴，

∴DF=．