Question

【題目】如圖，直線交軸于點A，交軸于點B,拋物線經過點A，交軸于點，點P為直線AB下方拋物線上一動點，過點P作于D，連接AP．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若以點為頂點的三角形與相似，求點P的坐標；

（3）將繞點A旋轉，當點O的對應點落在拋物線的對稱軸上時，請直接寫出點B的對應點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時三角形相似；（3）點的坐標為或．

【解析】

（1）先求出A，B的坐標，然后根據拋物線經過點A，C，解出a，c的值，即可求出拋物線解析式；

（2）分①當時和②當時兩種情況討論即可；

（3）先將拋物線的解析式化為頂點式，得出拋物線的對稱軸為：x=-1，根據，得出AO=3，BO=，然后設O（-1，m），解出m值，分①當O（-1，）時和②當O（-1，-）時兩種情況討論即可．

（1）∵直線交軸于A，B，

，

∵拋物線經過點A，C，

∴，

解得，

∴拋物線解析式為；

（2）①當時，點P為拋物線與x軸的交點，

令，

解得（舍去）

∴點P的坐標為；

②當時，，

，

過點B作，且使得，則P點必在直線AE與拋物線的交點上，

做軸于點F，

，

，

，

，

，

，

設直線AE的解析式為

則，

解得，

∴直線AE的解析式為，

解方程組

解得，，

∴點P的坐標為，

∴當或（1，0）時三角形相似；

（3）由題拋物線的解析式為，

∴拋物線的對稱軸為：x=-1，

∵，

∴AO=3，BO=，

∴設O（-1，m），

則有AO==AO=3，

解得：m=或m=，

①當O（-1，）時，

設AO的解析式為：y=ax+b，

將A（-3，0），O（-1，）代入得，

解得，

∴AO的解析式為：y=x+，

∵BO⊥AO，

∴可設BO的解析式為：y=x+b1，

將O（-1，）代入得=×（-1）+b1，

解得b1=，

∴BO的解析式為：y=x+，

設B的坐標為（x，x+），

則BO==BO=，

解得x1=-1-，x2=-1-(不符合此時的情況，舍去)，

將x1代入x+=1+，

∴B的坐標為（-1-，1+）；

②當O（-1，-）時，

同理可得B的坐標為（-1+，1-）；

綜上：點的坐標為或．